EJEMPLOS DE SOLUCIÓN DE CIRCUITOS RLC EN CORRIENTE ALTERNA

LEYES DE KEPLER

Introducción

Johannes Kepler fue un hombre profundamente religioso que escogió las herramientas del pujante método científico para construir una visión del Cosmos que reflejara la armonía divina. Con sus tres leyes del movimiento planetario dio elegante expresión matemática a las observaciones de Tycho Brahe, reafirmó el heliocentrismo copernicano y allanó el camino a la síntesis newtoniana. Como tantos otros pioneros de la frontera científica, coqueteó con disciplinas ahora consideras supersticiones; en su caso, la astrología, de la cual llegó a convertirse en experto reclamado por reyes y príncipes. Ni el favor de los poderosos ni su devoción le sustrajeron, no obstante, de las terribles consecuencias de la guerras religiosas que asolaban Europa

Elementos básicos de una elipse.

Una elipse se define como el conjunto de puntos (x,y) cuya suma de distancia a dos puntos distintos prefijos (focos) es constante. Como tal es una generalización del círculo, el cual es una elipse especial que tiene ambos focos en la misma posición. La forma de una elipse cual alargada es, está representada por su excentricidad, que para la elipse puede ser cualquier número que va desde cero hasta muy cerca de uno, pero siempre menor. La elipse está formada por dos ejes perpendiculares entre si, el semieje mayor a y el semieje menor b. Según la definición de la elipse tenemos que: 

Aplicamos esta definición para el caso específico donde las dos distancias son iguales

Ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas

Vamos a encontrar la ecuación de la elipse, para ello nos tomamos dos puntos, el B y P en los cuales se forman los triángulos f´Bf y f´Pf, en el que sabemos que la suma de las distancias es 2a

Principales elementos de la elipse centrada en el origen

Tomando la definición básica de elipse para el triángulo de color verde f´P + Pf = 2a, aplicando tenemos:

Elevando ambos miembros al cuadrado tenemos

Simplificando y ordenando los términos de la ecuación precedente

Elevamos nuevamente al cuadrado miembro a miembro para eliminar la raíz:

Amplificando la ecuación a2 = b2 + c2 en la expresión anterior:

Dividiendo miembro a miembro por a2b2 y simplificando tenemos la ecuación canónica de la elipse centrada en el origen.

Ecuación de la elipse en coordenadas polares

Otra representación útil y común de la elipse es en términos de coordenadas polares (r, Φ), tomando como origen a uno de los focos  se tiene entonces que:

Entonces a partir del esquema anterior tenemos que:

Sustituimos estas expresiones en la ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas y se obtiene:

Extrayendo raíz, se deduce que:

Veamos algunas propiedades adicionales de las elipses. Coloquemos el origen en uno de los focos y sea r1 la distancia mínima (perigeo) y r2 la distancia máxima (apogeo) entre el origen y la elipse. Se tiene que:

Excentricidad

La excentricidad es una propiedad fundamental para el estudio de las órbitas de los planetas, pues ello describen elipse de distinta excentricidad, algunos tan cercano a cero que parecen que fueran circular. Desde la antiguedad hasta los tiempos de Kepler se pensó que esto era así, sin embargo, el autor demostraría matemáticamente y consecuente a los datos que eran forma elíptica.

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno. (Tomado de Wikipedia)

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.5 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

Leyes de Kepler

Primera ley

Los planetas describen órbitas elípticas estando el sol en uno de sus focos.

Imagen que muestra los planetas con sus correspondientes excentricidades y donde el sol se ubica en el foco de esas elipses.

Segunda ley

Los planetas se mueven con velocidad areolar constante. Es decir, el vector posición r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Se puede demostrar que el momento angular es constante lo que nos lleva a las siguientes conclusiones:

• Las órbitas son planas y estables.
• Se recorren siempre en el mismo sentido.
• La fuerza que mueve los planetas es central.

Imagen 1: Muestra la como la fuerza de atracción gravitatoria es una fuerza central siempre perpendicular a la velocidad y al vector desplazamiento.

Imagen 2: Muestra que el área es del triángulo formado posición y desplazamiento.

Imagen 3: Muestra de una manera gráfica la segunda ley, donde las áreas barridas por el radio vector son iguales en tiempos iguales, es decir al A1 es igual a A2.

Se puede demostrar que la segunda ley de Kepler es una consecuencia de la conservación de la cantidad de movimiento angular. Sea el planeta Mp que va una velocidad V girando de manera elíptica en torno al sol que está en uno de sus focos. Para ello se considera que el sol no se mueve, así la fuerza de atracción ejercida por el sol es una fuerza central siempre a lo largo del radio vector dirigido hacia el sol. Claramente el torque neto como siempre es perpendicular vale cero.

la imagen 2 muestra que en un intervalo de tiempo dt, el radio vector r  barre el área dA, que es igual a la mitad del área formado por r y dr.

 

donde L y Mp son constantes, lo anterior muestra que el radio vector desde el sol a cualquier planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

Tercera ley de Kepler

La tercera ley se puede deducir a partir de la ley de gravitación de Newton, en la cual se considera una fuerza de tipo inversa cuadrática donde Mp es la masa del sol en una órbita circular.

Como la excentricidad de los planetas es bastante pequeña, podemos asumir como aproximación que las órbitas de los planetas son circulares, entonces, a partir de la tercer ley de Kepler, podemos encontrar una expresión para la magnitud de la fuerza gravitacional.

Para órbitas elípticas la ecuación anterior también es válido si se sustituye r con la longitud a del semieje mayor.

Si asumimos que, en primera aproximación, las órbitas de los planetas son circulares, entonces, a partir de la tercera ley de Kepler, podemos encontrar una expresión para la magnitud de la fuerza gravitacional.

Como el semieje mayor de una órbita circular es su radio, esta ecuación es válida tanto para órbitas circulares como para elípticas. También debe tener presente que el valor de la constante depende del planeta o astro que esté en el foco de la elipse que describe el cuerpo que gira. En el caso tierra luna, debe ir la masa de la tierra.

CURSO COMPLETO DE FÍSICA

CURSO COMPLETO DE FÍSICA

La física es una de las ciencias exactas fundamentales. La importancia de la física radica en que mientras más conocemos cómo funciona el universo, mejor preparados estaremos para enfrentar los retos del futuro.

La física está en todas partes y siempre funciona aunque no seamos conscientes de ello. Es una ciencia exacta, aunque aún no se conozcan todas las leyes. Como lo expresó el famoso físico Richard Feynman (1918-1988):

"El mundo es un gran juego de ajedrez jugado por los dioses donde nosotros somos los observadores. No sabemos las reglas del juego (...) si observamos lo suficiente, eventualmente captaremos algunas de las reglas. Las reglas del juego son lo que entendemos por la física fundamental."

Importancia del estudio de la física

El espectro de estudio de la física abarca desde la inmensidad del universo hasta lo más infinitesimal dentro del átomo. Como tal, es una disciplina que requiere entrenamiento para afrontar los retos que se presentan.

Entre las varias tareas que deben desempeñar los físicos están organizar datos, buscar patrones y aplicar el conocimiento a situaciones complejas. Por eso, muchos físicos se consideran "resolvedores de problemas".

¿Por qué es importante estudiar física?

"Los físicos están hechos de átomos. Un físico es un intento de un átomo para comprenderse a sí mismo".

Michio Kaku, físico teórico.

La física es el estudio de la materia, la energía, el espacio y el tiempo, sin lo cual no existiría nada. En realidad todas las ciencias pueden resumirse a conceptos físicos fundamentales, como la termodinámica y la física nuclear en el caso de la química, la mecánica y la física de materiales en la ingeniería.

La circulación de la sangre, el intercambio gaseoso en los pulmones, el transporte de agua en los árboles son todos fenómenos físicos que tienen que ver con la biología. El descubrimiento de la estructura del ADN fue hecho gracias a la difracción de rayos-X realizada por Rosalind Franklin.

Aprender física nos estimula la creatividad y la curiosidad. Si conoces " Los Simpsons" y "Futurama" debes saber también que uno de los escritores de esos programas es el físico David Cohen. 

Por otro lado, el conocimiento nos hace menos susceptibles a la pseudociencia y a peligros imaginarios.

En el siguiente link encontraras una serie de capítulos que te explicaran gran parte de la temática que se dicta en la física del colegio y la física universitaria, espero sea de tu agrado.

Acceso a curso completo de física. 

SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE: LAPLACE, INVERSA DE LAPLACE, FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA, FRACCIONES PARCIALES.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (EXPLICACIÓN BREVE)

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

En esta ocasión hablaremos de la función de transferencia a nivel general, para luego darle una aplicación en circuitos.
El concepto de función de transferencia es algo que encontraras continuamente en varios textos y cursos que te dispongas a realizar. Y no es para menos, pues la función de transferencia es una herramienta importantísima que nos permitirá analizar cómo se comportará un determinado proceso, bien sea industrial o académico, a lo largo del tiempo.

En pocas palabras una función de transferencia es una función matemática lineal que emplea la famosa herramienta matemática de la transformada de Laplace y permite representar el comportamiento dinámico y estacionario de cualquier sistema. Sin embargo vamos a detallar este concepto minuciosamente.

Sabemos que cuando nos encontramos en frente de algún proceso, sea cual sea, este proceso por lo general contará con actuadores y sensores. Los actuadores harán con que mis variables (presión, temperatura, nivel, humedad, velocidad, etc) comiencen a variar con el tiempo, mientras que los sensores se encargan de medir y mostrarme como dichas variables están cambiando con el tiempo.

Obviamente nosotros vamos a querer controlar estas variables del proceso, porque simplemente no vamos a dejar que estas variables evolucionen con el tiempo de la manera que ellas quieran. Por decir algo, si tenemos un horno, donde estamos cocinando galletas. No vamos a dejar que la variable temperatura suba a valores muy elevados, porque el resultado sería tener unas galletas totalmente quemadas. Es por eso que debemos controlar la temperatura para que esta se mantenga sobre una determinada zona y nos permita obtener una galletas perfectas!

Origen de la Función de Transferencia

Pero aquí llega el primer inconveniente. Para poder hacer los cálculos matemáticos de nuestros controladores, es de vital importancia, primero y antes que nada, conocer y entender cómo se comporta nuestro proceso. Y tenemos que hallar la forma de representar ese proceso que está en la industria en el Papel. Es decir encontrar alguna ecuación matemática que me permita modelar y simular el comportamiento real de mi proceso.

Ahí es donde tiene origen la función de transferencia. Si observamos los datos que nos entrega algún sensor de nuestro proceso, después de haber aplicado alguna perturbación (es decir después de prender los quemadores, después de abrir una válvula, etc) veremos que la variable comenzará a evolucionar en el tiempo hasta alcanzar otro estado donde se quedara estable, conocido en la literatura como el estado estacionario. Entonces de ese movimiento dinámico podemos clasificar el comportamiento del proceso en el tiempo de dos formas, como lo vemos en la siguiente figura:

En la zona dinámica el sistema va variando con el tiempo, y en la zona estacionaria, el sistema ya no depende más del tiempo, porque sin importar si el tiempo sigue creciendo, la variable se mantiene en el mismo valor.

Los físicos, matemáticos, químicos, necesitaban modelar los procesos industriales, es por eso que en base a estas respuestas dinámicas, se consiguen elaborar ecuaciones diferenciales que representan la evolución de las variables con el tiempo (Como ejemplo se muestra una ecuación diferencial de un reactor)

Ahora trabajar con este tipo de ecuaciones diferenciales puede llegar a ser un poco complicado, es por eso que aplicando el concepto de Tylor para linealizar aquellas ecuaciones diferenciales que fueran NO lineales y luego aplicando un herramienta conocida como la transformada de Laplace, podemos representar nuestro sistema que originalmente estaba en el tiempo en forma de ecuaciones diferenciales a representarlo en una nueva variable, llamada variable compleja “S” en forma de ecuaciones algebraicas.

Asi surgen nuestra función de transferencia, las cuales relacionan la salida del sistema sobre la entrada. De esa manera puedo yo saber cómo se comporta mi sistema de una forma matemática y puedo posteriormente hacer los cálculos para un controlador.

Función de Transferencia de un Proceso

Si analizamos, veremos que las funciones de transferencia se componen de un numerador que es un polinomio y un denominador, que también es un polinomio. Y como todo polinomio tiene raíces, aquí aparece otro concepto que debemos tener claro.

Cuando igualamos el polinomio del numerador a cero, vamos a obtener unas raíces que llamaremos como los “Ceros del Sistema” y haremos lo mismo con el polinomio del denominador, el cual igualaremos a cero y sus raíces se llamaran “Polos del Sistema”

Plano Complejo S y su Función de Transferencia

Los ceros y polos pueden ser graficados en el plano complejo “S” y aquí podremos determinar si una función de transferencia es estable o inestable. Simplemente con mirar la ubicación de los Polos del Sistema. Si algún polo del sistema se encuentra ubicado en el semiplano derecho del plano “S”, automáticamente sabremos que el sistema es Inestable. Si encontramos algún cero en esta zona, nuestro sistema NO será inestable, apenas tendrá un determinado comportamiento en su respuesta dinámica que analizaremos más adelante.

Como lo puedes evidenciar los polos y ceros de una función de transferencia caracterizan la forma y el comportamiento que tendrá un determinado sistema ante una eventual entrada de excitación.

Como Obtener una Función de Transferencia

Existen diferentes formas de obtener una función de transferencia:

1. Linealizando una Ecuación Diferencial y aplicando la transformada de Laplace.
2. Tomando datos de los sensores del proceso para aplicar posteriormente técnicas de identificación de sistemas.

Ambas formas de obtener una función de transferencias han sido explicadas en este canal, en el curso de análisis de sistemas. Por ejemplo puedes ver como obtener las funciones de transferencia de un sistema de llenado de tanques aplicando el primer método.

Accede al siguiente link donde encontraras un vídeo explicativo sobre el concepto físico de esta temática.

Vídeo explicativo sobre función de transferencia.

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EXPLICACIÓN DEL MÉTODO DE RUFFINI (FACTORIZACION DE EXPRESIONES DE GRADO SUPERIOR)

 MÉTODO DE RUFFINI

Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras. Si la ecuación tiene soluciones complejas o reales, éste método no es válido.

Veremos que para obtener las soluciones de la ecuación, previamente hay que factorizar, por lo que con el mismo ejemplo explicaremos ambos conceptos.

Vamos a resolver un ejemplo explicando paso por paso.

Tenemos la siguiente ecuación:

1 – Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de la incógnita. Para la ecuación anterior, los represento en verde para identificarlos:

2 – Trazamos dos líneas perpendiculares de esta forma:

3 – Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor:

En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar. Por ejemplo si no tuviérmos ningún término que tenga x², en el lugar del grado 2, se colocaría un 0.

Los números que hemos escrito hasta ahora en el método de Ruffini, es equivalente a escribir la ecuación, es decir:

4 – Ahora escribimos un número a la izquierda de la línea vertical. Más adelante explicaremos qué número colocar aquí y por qué. De momento, empezamos con el 1.

Ese número corresponde al número (a) del binomio x – a:

En este caso, escribir ahí un 1, significa el binomio (x – 1) en el método de Ruffini

5 – Empezamos a ejecutar el método. El primer hueco de la segunda fila, siempre se deja libre:

7 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la primera columna. El resultado se coloca en el hueco de la segunda columna:

8 – Se realiza la suma de la segunda columna:

9 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la segunda columna. El resultado se coloca en el hueco de la tercera columna:

10 – Así sucesivamente hasta completar todas las columnas:

El objetivo es que en la última columna tengamos un 0. Esta es la explicación de qué número colocar a la izquierda de la línea:

Si no tenemos un cero, tendríamos que probar con otro número a la izquierda de la línea vertical y reiniciar el proceso.

Una vez hemos obtenido un cero al final, vamos a ver qué significa lo que tenemos hasta aquí:

Lo que nos ha quedado en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número que está a la izquierda del 0, tiene grado 0 y  éste va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda. En este caso, nos queda lo equivalente a tener esta ecuación:

Y como hemos visto antes, el 1 a la izquierda de la línea vertical significaba:

Lo que quiere decir que lo que tenemos hasta ahora es el producto de esas dos ecuaciones, que es igual a la ecuación original:

11 – Con la fila que nos ha quedado, volvemos a empezar. Empezamos probando con el 1:

12 – Igual que antes, vamos multiplicando con el resultado de sumar en cada columna:

Al final tenemos un 6, y lo que queremos es tener un cero. Por tanto, debemos seguir probando, con -1, con 2, con -2… hasta encontrar el número que nos haga tener un cero en la última columna.

El número que nos hace tener un 0 al final es el -2:

¿Y ahora que hacemos? ¿Cómo sabemos que hemos terminado?

El mayor grado de la última fila es 1, por tanto hemos terminado:

El resultado de la factorización de la ecuacuón por el método de Ruffini es el producto de la última fila y de los números que están a la izquierda de la línea vertical, pero expresados en forma de ecuación:

Por tanto, nuestra ecuación será:

Hasta aquí hemos factorizado la ecuación. Ahora vamos a resolverla:

1 – Igualamos a 0, tal y como estaba en un principio

2 – Recuerda que cuando una multiplicación de dos o más factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0. Por tanto, cualquier factor podría ser 0.

Nos quedan tres ecuaciones de primer grado para despejar, de donde obtenemos las tres soluciones (ya que es una ecuación de tercer grado):

Soluciones: -1, -2 y 1