ECUACIONES DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Posición

La posición de una partícula que sigue un movimiento armónico simple ( m.a.s.), también denominada elongación, viene determinada por la distancia x a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m). Se trata de una función sinusoidal (seno o coseno), que depende del tiempo x = f(t).

Ecuación de posición

	x → Seno	x → Coseno
Con ω	x=A⋅sin(ω⋅t+φ0)	x=A⋅cos(ω⋅t+φ'0)
Con f	x=A⋅sin(2⋅π⋅f⋅t+φ0)	x=A⋅cos(2⋅π⋅f⋅t+φ'0)
Con T	x=A⋅sin(2⋅πT⋅t+φ0)	x=A⋅cos(2⋅πT⋅t+φ'0)

Donde:

• A: Amplitud máxima del movimiento. Representa la distancia máxima a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)
• f: Frecuencia del movimiento. Es el número de oscilaciones o vibraciones que se producen en un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Hertzio (Hz). 1 Hz = 1 oscilación / segundo = 1 s-1.
• T: Periodo del movimiento. El tiempo que tarda en cumplirse una oscilación completa. Es la inversa de la frecuencia T = 1/f . Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s).
• ω : Frecuencia angular o pulsación. Representa el número de periodos comprendidos en 2·π segundos. Su unidad de medida en el sistema internacional es el radián por segundo ( rad/s ). Se encuentra relacionada con la frecuencia y el periodo del movimiento según ω=2⋅πT=2⋅π⋅f  
• φ0  y φ'0 : Fase inicial. Se trata del ángulo que representa el estado inicial de vibración, es decir, la posición x del cuerpo en el instante t = 0. Su valor depende de si has elegido un seno o un coseno para representar el movimiento. φ'0=φ0−π/2 Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad) .

Para cualquier instante t se cumple que x(t)=x(t+T) .

Gráfica de posición x - t

Velocidad

La velocidad instantánea determina la variación de posición que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la posición respecto al tiempo.

v=dxdt

Para obtener la expresión de la velocidad hemos de tener en cuenta que dependerá de si expresamos la posición como seno o como coseno:

• v=ddt(A⋅sin(ω⋅t+φ0))=A⋅ω⋅cos(ω⋅t+φ0)
• v=ddt(A⋅cos(ω⋅t+φ'0))=−A⋅ω⋅sin(ω⋅t+φ'0)

Ecuación de velocidad

	Velocidad  (cuando x → Seno )	Velocidad (cuando x → Coseno )
Con ω	v=A⋅ω⋅cos(ω⋅t+φ0)	v=−A⋅ω⋅sin(ω⋅t+φ'0)
Con f	v=A⋅2⋅π⋅f⋅cos(2⋅π⋅f⋅t+φ0)	v=−A⋅2⋅π⋅f⋅sin(2⋅π⋅f⋅t+φ'0)
Con T	v=A⋅2⋅πT⋅cos(2⋅πT⋅t+φ0)	v=−A⋅2⋅πT⋅sin(2⋅πT⋅t+φ'0)

Para cualquier instante t se cumple que v(t)=v(t+T) .

Gráfica de velocidad v - t

La velocidad es máxima cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio y mínima en los extremos de la trayectoria del movimiento (+A y -A).

Relación posición - velocidad (x - v)

Podemos relacionar la posición y la velocidad en un movimiento armónico simple a través de la expresión:

v=±ω⋅A2−x2−−−−−−−√

Comprobación

La idea principal es poder hacer uso de la relación trigonométrica: sin2(α)+cos2(α)=1 

x⋅ω=A⋅ω⋅sin(ω⋅t+φ0)v = A⋅ω⋅cos(ω⋅t+φ0)}(x⋅ω)2+v2=(A⋅ω)2⋅⎛⎝⎜sin2(ω⋅t+φ0)+cos2(ω⋅t+φ0)1⎞⎠⎟

(x⋅ω)2+v2=(A⋅ω)2⇒v=±ω⋅A2−x2−−−−−−−√

Aceleración

La aceleración instantánea determina la variación de velocidad que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

a=dvdt

Para obtener la expresión de la aceleración hemos de tener en cuenta que dependerá de si expresamos la posición como seno o como coseno:

• a=d2dt2(A⋅sin(ω⋅t+φ0))=ddt(A⋅ω⋅cos(ω⋅t+φ0))=−A⋅ω2⋅sin(ω⋅t+φ0)
• a=d2dt2(A⋅cos(ω⋅t+φ'0))=ddt(−A⋅ω⋅sin(ω⋅t+φ'0))=−A⋅ω2⋅cos(ω⋅t+φ'0)

Ecuación de aceleración

	Aceleración (cuando x → Seno )	Aceleración (cuando x → Coseno )
Con ω	a=−A⋅ω2⋅sin(ω⋅t+φ0)	a=−A⋅ω2⋅cos(ω⋅t+φ'0)
Con f	a=−A⋅(2⋅π⋅f)2⋅sin(2⋅π⋅f⋅t+φ0)	a=−A⋅(2⋅π⋅f)2⋅cos(2⋅π⋅f⋅t+φ'0)
Con T	a=−A⋅(2⋅πT)2⋅sin(2⋅πT⋅t+φ0)	a=−A⋅(2⋅πT)2⋅cos(2⋅πT⋅t+φ'0)

Para cualquier instante t se cumple que a(t)=a(t+T) .

Gráfica de aceleración a - t

La aceleración es máxima en los extremos de la trayectoria (+A y -A) y mínima cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.

Relación posición - aceleración (x - a)

Podemos relacionar la posición y la aceleración en un movimiento armónico simple a través de la expresión:

a=−ω2⋅x

Comprobación

Para deducir la fórmula que relaciona posición y aceleración, simplemente tenemos que percatarnos que podemos obtener la expresión de la aceleración a=−A⋅ω2⋅sin(ω⋅t+φ0)  multiplicando la expresión de la posición x=A⋅sin(ω⋅t+φ0)  por un factor de −ω2 .

Gráficas del m.a.s.

En el siguiente Experimenta y aprende puedes ver las gráficas del movimiento armónico simple. Observa la relación que guardan entre sí las magnitudes cinemáticas y con los parámetros que definen el comportamiento del m.a.s.

Experimenta y Aprende

Gráficas del movimiento armónico simple

En las figuras inferiores encontrarás las gráficas de posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo de un movimiento armónico simple (m.a.s.).

Cambia los valores de amplitud, periodo y fase inicial de dicho movimiento y comprueba como cambian sus gráficas.

Observa que:

• Todas ellas no se anulan ni tienen sus valores máximos en el mismo instante de tiempo, por tanto se dice que están desfasadas.
• La velocidad se encuentra adelantada un 1/4 del periodo sobre la posición y la aceleración 1/2 de dicho periodo.

Datos

x =4.00 · sin(2π/5.00 · t + 0.00)
x = 4.00 · cos(2π/5.00 · t + 0.00 - π/2)

v = 4.00 · 2π/5.00 · sin(2π/5.00 · t + 0.00)
v = 4.00 · 2π/5.00 · cos(2π/5.00 · t + 0.00 - π/2)

a = -4.00 · (2π/5.00)2 · sin(2π/5.00 · t + 0.00)
a = -4.00 · (2π/5.00)2 · cos(2π/5.00 · t + 0.00 - π/2)

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

-5

-10

A (m) = 4.00

T (s) = 5.00

φ0 (rad) = 0.00

Gráfica x-t. M.A.S.

t (s)

x (m)

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

-5

-10

Gráfica v-t. M.A.S.

t (s)

v (m/s)

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

-5

-10

Gráfica a-t. M.A.S.

t (s)

a (m/s2)

Ejemplo

Sabiendo que un movimiento armónico simple tiene por ecuación:

x=0.5⋅sin(0.35⋅π⋅t+π/4) m

Determina la ecuación y la gráfica de la velocidad y de la aceleración.